Sehr schüchternes Kind? Wer kennt das noch?

Hallo,
meine Tochter(4)ist in der Öffentlichkeit sehr zurückhaltend. Erwachsene haben bei ihr keine Chance, mit Kindern spricht und spielt sie schon ganz gut aber sie braucht eine extrem lange Aufwärmphase.
Im Kindergarten spielt sie eigentlich nur mit Kindern, die ihr sehr gut vertraut sind. Wenn die beste Freundin mal nicht da ist, sagt sie öfter, dass sie an dem Tag alleine gespielt hat. Das macht mich sehr traurig.
Zu Hause ist sie ganz anders: sehr aufgeschlossen, lautstark und ein Plappermaul. Auch wenn sie mit ihren guten Freunden spielt ist sie immer diejenige, die den Ton angibt. Zu Hause muss auch immer das geschehen, was und wie sie will. Sie ist eigentlich auch sehr mutig: auf dem Spielplatz ist sie auf den größten Turngeräten, wo sich nicht mal größere Kinder drauf trauen.

Ich könnte sie z.B. nie zu einer Turngruppe, Musikschule oder Schwimmkurs schicken,da sie nie da bleiben würde, es sei denn die beste Freundin geht mit. Und das klappt nicht so gut, da die Freundin weit weg wohnt und die Mutter noch zwei andere Kinder hat. Unglücklicherweise ist auch die beste Freundin schon 6. Das heißt sie wird dieses Jahr den Kindergarten verlassen. Sie wird auch nie von sich aus ein anderes Kind fragen, ob es mit ihr spielen möchte. Man müsste immer auf sie zu gehen.

Wie kann man so ein Kind ermutigen auch mal mit anderen Kindern zu spielen und sich wenigstens etwas zu öffnen? ich erwarte ja auf einmal keinen Wunder aber es tut mir einfach weh, wenn ich mir vorstelle, dass sie alleine in einer Ecke sitzt und spielt.

Gibt mir doch bitte Tipps?Danke
LG
Bengü