Was passiert nun?

>>Wie groß darf die Wohnung denn für mich und meine Tochter (12 Monate) sein (2-Zi oder 3-Zi)? Wie viel darf sie ungefähr kosten? In meiner Stadt sind die Mietpreise sehr sehr hoch auch außerhalb noch.

Das ist von Stadt zu Stadt unterschiedlich. Diese Information wirst Du nur vor Ort bekommen. Richtlinien und damit einen ersten Anhaltspunkt findest Du hier: http://www.harald-thome.de/oertliche-richtlinien.html
Trotzdem solltest Du vor Ort nachfragen.

>>Wie lange dauert es ungefähr vom Zeitpunkt der Antragsstellung bis zum ersten Geld auf dem Konto?

Wenn benötigt, gibt es gleich Geld.

>>Wird die Kaution auch übernommen? Gibt es sowas wie Startergeld für Möbel?

Ja, ggf. als Kredit. Das "Startgeld" ist aber nicht besonders üppig.

>> Kann er den Unterhalt (gemäß der Düsseldorfer Tabelle) einfach monatlich überweisen oder muss das irgendwo amtlich bearbeitet werden?

Der Unterhalt wird ganz regulär überwiesen.

Bevor Du den H4 Antrag stellst, sollte geprüft werden ob Dir Betreuungsunterhalt zusteht.