Kleinkind-Mützen. Gefährlich oder bin ich zu doof?

Ich habe ein paar schöne und auch nicht billige Mützen für unser Krippenkind hier. Teilweise aus Schurwolle. Alle haben sie diese Schnüre daran, also eine Schnur von einer Seite zur anderen, damit man die Mütze nicht verliert, offenbar.
Täusche ich mich? Ich finde die super gefährlich wegen Strangulationsgefahr. Ich habe jetzt überlegt, das Band in der Mitte durchzuschneiden und am Ende zu knoten. Dann könnte man es offen lassen, und wenn sie hängen bleibt, verliert sie nur die Mütze. Wenn man privat unterwegs ist, könnte man es dann immer noch zubinden, wenn man nicht gerade auf dem Spielplatz ist. Ich habe jetzt aber Bedenken, dass womöglich eine Aushilfe o.ä. in der Kita das doch zubindet, und dann haben wir wieder das Problem.
Komplett abschneiden? Oder habe ich was übersehen? Was denken sich die Hersteller dabei?