jedes Kind hat das recht auf seinen Vater in den Papieren

Rein rechtlich: Wenn er die Vaterschaft anerkennt, hat er noch lange nicht das Sorgerecht und ich würde es ihm auch nicht geben an Deiner Stelle. Er KÖNNTE so oder so beides (sowohl die Vaterschaft als auch das Sorgerecht) nach der Geburt einklagen. Die Vaterschaft würde er wohl bekommen. Beim Sorgerecht hast Du mMn gute Chancen bei der Ablehnung, wenn er im Ausland lebt. Wobei das SR überbewertet wird, was die Erziehung angeht, das macht kaum einen Unterschied.

Und jetzt der persönliche Teil: Da Du scheinbar große Probleme hast, ihm hin und wieder ein "Nein!" ins Gesicht zu sagen, wäre es vielleicht eine Option, die Vaterschaftsanerkennung nicht vorher zu machen. Du kannst ihn auch einfach nach der Geburt als Vater angeben. Dann setzt sich im Zweifel das Jugendamt mit ihm auseinander.

Und: Er hat nicht das allergeringste Recht, bei der Geburt dabeizustehen. Du hast aber jedes Recht, bei der Geburt nur Leute dabeizuhaben, die Du dabeihaben willst. Ich hätte meinen (damals noch) über alles geliebten Ehemann vor die Tür gesetzt, wenn es mir ein Bedürfnis gewesen wäre. Mein Job, meine Regeln.