Kann ein voll gestilltes Baby übergewichtig sein??

Hallo ihr Lieben, hoffe auf Ratschläge und bestenfalls beruhigende Worte von euch...
Ich stille meinen zweiten Sohn vom ersten Tag an voll, er hat noch nie was anderes als Muttermilch bekommen und ist knapp fünf Wochen alt. Die ersten Tage hatten wir ziemliche Schwierigkeiten wegen viiiiel zu viel Milch, steinharten Brüsten und einem extremen Milchspendereflex.
Inzwischen würde ich sagen klappt es recht gut. Meine Brust ist nach dem Stillen weich, dazwischen zwar mal voll und schwer, aber nicht mehr hart. Am Milchspendereflex verschluckt er sich nur noch manchmal und scheint mit Schlucken meistens gut klarzukommen. Er trinkt meist nicht lange, aber mittlerweile zunehmend entspannt. Oft ist er nach einer Seite zufrieden. Er spuckt viel, hatte eine Zeit lang auch mit Reflux-Symptomen zu kämpfen,was viel besser ist seit ich ihn erhöht lagere (Kissen unter der Matratze) und viel aufrecht trage.

Nun zu meinem hauptsächlichen Problem: Der Kleine kam mit 3680g zur Welt und hat durch die viele Milch bereits in den ersten Tagen zugenommen. Nach 5Tagen wog er schon 4kg, Hebamme war fast schockiert. Mit genau vier Wochen bei der U3 wog er schon 5590g! Das sind ca 500g pro Woche!!! Der Kinderarzt konnte es nicht fassen, blieb allerdings mühsam entspannt, da ich ja voll stille.

Meine Frage ist: Uberfüttere ich mein Baby durch das Uberangebot an Milch, die ihm in kurzer Zeit in den Bauch "schießt"? Kann ihm das irgendwie schaden? Er ist zwischen den Mahlzeiten selten wach, braucht er alle Energie zum Verdauen? Ich kann ihn aber doch auch nicht hungern lassen!? Er meldet sich alle 1-4 Stunden, ich stille nach Bedarf.
Habt ihr einen Rat für mich?
Ich weiß zwar, dass es heißt mit Stillen kann man ein Kind nicht überfüttern, aber diese Zunahme ist doch auch nicht normal oder? Was mache ich falsch? Alle im Umfeld sind entsetzt, wie schwer der Kleine ist. Ich finde eigentlich nicht, dass er "fett" aussieht, eben babymäßig mit Pausbäckchen und kleinen Speckfalten...