Rechtliche Frage - Heizöl

Vielleicht kennt sich hier bei euch jemand in rechtlichen Dingen aus.
Wir sind gerade dabei ein Haus zu kaufen und wollen dann natürlich unser bisheriges Mietverhältnis (EFH) kündigen.
In dem gemieteten Haus befindet sich eine Ölheizung und wir haben immer selbst auf eigene Kosten getankt.
Der Tank war bei Einzug leer.

Nun haben wir im November wieder vollgetankt, da war vom Eigenheim noch nicht die Rede. Nun wollen wir ja unserem Vermieter das getankte Öl nicht schenken. Ich habe zwei Urteile (in Kürzestfassung) gefunden, dass der Vermieter das Öl wohl übernehmen muss. Aber ist das wasserdicht? Kennt sich da jemand aus?

Danke schon mal.