Nachnamen vom Kind

Hallo,

ich habe eine Frage und zwar wenn man erst nach der Geburt des Kindes eine gemeinsame Sorgeerklärung abgibt und der Kindsvater dann im Nachhinein darauf besteht dass das Kind dessen Nachnamen bekommen soll, die Mutter das aber nicht möchte kann er das als Kindsvater so einfach machen bzw ändern lassen obwohl er auch die Hälfte vom Sorgerecht hätte? Aber im Normalfall müsste doch die Mutter dann trotzdem erstmal schriftlich zustimmen und der Kindsvater bräuchte eine Einwilligung der Mutter oder liege ich da komplett falsch?
PS: Das Kind hat seit der Geburt den Nachnamen der Mutter und so sollte es auch weiterhin bleiben unabhängig vom gemeinsamen Sorgerecht!!!

Vielen Dank schon mal für eure Antworten!

Liebe Grüße