Mein Kind (bald 7) wird nicht eingeschult

Da steht ganz klar drin, dass ihr als Eltern die Wahl habt. In Hessen gibt es aber keine freie Schulwahl, sondern feste Schulbezirke.

Du kannst also
a) auf die zuständige Grundschule bestehen. Dann schreibst du dem Schulleiter einen Brief, dass du dein Kind jetzt zum Schuljahr 22/23 anmelden willst. Du bist sicher nur mündlich abgewiesen worden? Das gilt nix.
b) du stellst einen Antrag auf Schulbezirkswechsel ("Gestattung" gem. § 66 HSchG) und schickst das Kind auf eine andere Schule.

Lass dich nicht einschüchtern. Notfalls geh zügig zu einem Anwalt

Und ja, ein Kind kann jederzeit an einer Schule angemeldet werden, es gibt Schulpflicht und Neuzugänge - auch mitten im Schuljahr.